そこで教えてもらったのが、phpMyBackupProというオープンソースのプログラム。PhpMyAdminとは目的が異なり、こちらはバックアップと復旧することに特化した内容でした。
WEBサーバーへの保存、Eメールでの送信、FTPでの転送。と３つの方法が装備していますが、PHPのバージョンや仕様によって使える機能は制限されているようです。
これをcronで動かせば、夢の「MySQL自動バックアップ」が完成するわけですね。
あとはcronだけですが、共有サーバーのcron設定はどこも面倒で、さくらインターネット、XREA、CPI、エックスサーバー、と試してみましたが、どれも一筋縄では動いてくれませんでした。（ロリポップはその機能さえありません。）
そこで便利なのが、WebcronというASPサービス。PHPに対しても決まった時間にアクセスしてくれるので、これですべての問題が解決したのでした。
以下、参照リンクです。
>> phpMyBackupPro
>> Webcron
以下、補足です。
Webcronは無料ですが、３つまでしか設定ができません。そこで、それぞれのPHPファイルを一つのファイルにincludeすれば、使用するcronは毎朝5時ひとつで事足りました。
phpMyBackupProは日本語パッチが用意されています。
しかし、完全ではないようで一部文字化けします。慣れれば英語でも十分使えます。